1. 问题设定
- 平面上画满间距为d的平行线
- 随机投下一根长度为L的针设L $\leq d$
- 求针与任一条平行线相交的概率P
2. 关键变量
设：
- 针中点到最近平行线的距离为x，则$x \in [0, d/2]$（对称性取一半区间也可，但通常取$0 \le x \le d/2$或$0 \le x \le d$，这里用$0 \le x \le d/2$的推导会多一个系数调整，经典推导一般用$0 \le x \le d/2$并对称性考虑）
- 针与平行线的夹角为$\theta \in [0, \pi/2]$（同样由对称性取一半区间，因为相交条件只依赖$\sin\theta$的绝对值）
但更常见的做法是直接取：
$x \in [0, d/2], \quad \theta \in [0, \pi/2]$
不过概率推导时往往用全区间$\theta \in [0, \pi)$ 和 $x \in [0, d/2]$ 并用对称性得到公式。
更标准的推导（取$0 \le x \le d/2, 0 \le \theta \le \pi/2$）
针与线相交的条件是： $x \le \frac{L}{2} \sin\theta$ 因为针在垂直方向的投影半长为$\frac{L}{2} \sin\theta$，若中点距离x小于该投影半长，则相交。
3. 几何概率模型
样本空间：
$0 \le x \le d/2,\quad 0 \le \theta \le \pi/2$
面积（全空间测度）：
$S_{\text{total}} = \frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi d}{4}$
事件区域（相交条件 $x \le \frac{L}{2} \sin\theta$）：
$S_{\text{cross}} = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \min\left(\frac{L}{2} \sin\theta,\, \frac{d}{2}\right) \, d\theta$
由于假设 $L \le d$，所以 $\frac{L}{2} \sin\theta \le \frac{L}{2} \le \frac{d}{2}$，因此最小值总是取 $\frac{L}{2} \sin\theta$。
于是： $S_{\text{cross}} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{L}{2} \sin\theta \, d\theta$ = $\frac{L}{2} \left[ -\cos\theta \right]_{0}^{\pi/2}$ = $\frac{L}{2} (0 - (-1)) = \frac{L}{2}$
4. 概率
\[P = \frac{S_{\text{cross}}}{S_{\text{total}}} = \frac{L/2}{\pi d / 4} = \frac{2L}{\pi d}\]5. 估计 π
由 $P \approx \frac{\text{相交次数}}{\text{总投掷次数}}$，得：
\[\frac{2L}{\pi d} \approx \frac{\text{相交次数}}{N}\]所以：
\[\pi \approx \frac{2L \cdot N}{d \cdot \text{相交次数}}\]相交概率 P 与$\pi$的关系为：
$P = \frac{2L}{\pi d} \quad \Rightarrow \quad \pi \approx \frac{2L}{P \cdot d}$
通过大量重复实验，可用频率逼近概率，从而估算π。
R 语言代码：
a <- 2
l <- 1.57
n <- 1e6
u1 <- runif(n, 0, 1)
x <- a/2 * u1
u2 <- runif(n, 0, 1)
y <- l/2 * sin(pi*u2)
p <- mean(x <= y)
pi.e <- 2*l/(a*p)
cat(pi.e)
实验方差：
方差推导
第一步：$\hat{p}$ 的方差
m为成功的次数，n为总次数
$m \sim \text{Binomial}(n, p)$，所以：
\[\text{Var}(\hat{p}) = \text{Var}\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{p(1-p)}{n}\]第二步：$\hat{\pi}$ 的方差（Delta方法）
对 $\hat{\pi} = \frac{2l}{a \cdot \hat{p}}$ 在 $p$ 处泰勒展开：
\[\hat{\pi} \approx \frac{2l}{ap} - \frac{2l}{ap^2}(\hat{p}-p)\]因此：
\(\text{Var}(\hat{\pi}) \approx \left(\frac{2l}{ap^2}\right)^2 \cdot \text{Var}(\hat{p}) = \frac{4l^2}{a^2p^4} \cdot \frac{p(1-p)}{n}\) 化简得
\[\boxed{\text{Var}(\hat{\pi}) = \frac{4l^2(1-p)}{na^2p^3}}\]代入 $p = \frac{2l}{\pi a}$：
\[\text{Var}(\hat{\pi}) = \frac{\pi^4(\pi a - 2l)}{4n a l^3}\]由此可得：当l=$\frac{3\pi a}{4}$时理论上方差最小，但因为条件限制l<=a（当l>a时，截断区域不是一个三角形，不能用上面方法定义概率），所以实际上l=a时，方差最小。 详见“推导随机变量函数方差的 Delta 方法”。